Признак Дирихле НИЗОПа

Пусть $f(x, y), g(x, y) : X \times [c, d) \to \mathbb{R}$. Если для каждого $x \in X$ функция $f(x,y)$ интегрируема по $y$ на $[c, d']$, $\forall d' < d$, и интегралы $\int_c^{d'} f(x, y)dy$ равномерно ограничены: $$ \exists{M}\mathpunct{:}~~ \forall{x \in X}, c < d' < d\mathpunct{:}~~ \left|\int_c^{d'} f(x, y)dy\right| \leq M $$ а также $g(x, y) \rightrightarrows_{y \to d-0} 0$ монотонно, то интеграл $\int_c^d f(x, y)g(x, y)dy$ сходится равномерно на $X$.

По второй теореме о среднем: $$ \left|\int_{d'}^{d''} f(x, y)g(x, y)dy\right| = \left|g(x, d') \int_{d'}^{\xi} f(x, y)dy + g(x, d'') \int_{\xi}^{d''} f(x, y)dy\right| \leq 2M|g(x, d')| + 2M|g(x, d'')| \implies 0 $$